二分查找

最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节

// 二分法查找框架
var binarySearch = function(nums, target) {
    var left = 0, right = ...;
		// 注意使用小于等于和else if（更清楚）
    while(... {
        // 每轮被查找中值
        var mid = parseInt((left + right) / 2);
      	// 查找到了
        if (nums[mid] == target) {
            return ...;
          // 要找的值在中值右边
        } else if (nums[mid] < target) {
          	// 左边界改为mid+1 (mid已经不是了，直接从下一位开始)
            left = ...;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...;
        }
    }
    return ...;
}

1. 标准二分

var binarySearch = function (nums, target) {
  var left = 0; // 注意
  var right = nums.length - 1; // 注意

  while (left <= right) {
    var mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
    if (nums[mid] == target) return mid;
    else if (nums[mid] < target) left = mid + 1; // 注意
    else if (nums[mid] > target) right = mid - 1; // 注意
  }
  return -1;
};

这段代码可以解决力扣第 704 题「二分查找」，但我们深入探讨一下其中的细节。

1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)。因为索引大小为 nums.length 是越界的，所以我们把 right 这一边视为开区间。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

if(nums[mid] == target)
    return mid;

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

//...
while(left < right) {
    // ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;

2、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索区间 [left, mid-1] 或者区间 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3、此算法有什么缺陷？

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。